对于简单的二项游戏的正态概率分布（比如我们这里所用的抛硬币的最终结果），标准差（SD）为：
SD=N*(((P*(1-P))/N)^(1/2))
其中，P=事件的概率（例如，出现正面的结果）。
N=试验次数。
对于抛10枚硬币的情况（即，N=10）：
SD=10*(((0.5*(1-0.5))/10)^(1/2))
=10*(((0.5*0.5)/10)^(1/2))
=10*((0.25/10)^(1/2))
=10*(0.025^(1/2))
=10*0.158113883
=1.58113883
某種分布的中线为这種分布的峰值。在抛硬币的例子中，峰值位于正面和反面的平均数处。因此，对于抛10枚硬币的序列，中线将位于5个正面5个反面处。对于正态概率分布，大约有68.26%的事件位于自中线±1个标准差区域内，有95.45%的事件位于自中线±2个标准差区域内，有99.73%的事件位于自中线±3个标准差区域内（见图1-2）。继续我们的抛10枚硬币的话题，1个标准差大约等于1.58。因此，我们可以说，抛10枚硬币有68%的机会我们可以预期由3.42（5-1.58）至6.58（5+1.58）组成的最终结果为正面（或反面）。因此，如果我们得到7个正面（或反面），我们将位于预期结果的1个标准差之外（预期结果为5个正面或5个反面）。
图1-2正态概率函数：中心线及其两侧两个标准差
这里还有一个有趣的现象。注意：在我们抛硬币的例子中，随着抛硬币次数的增加，均等得到正面反面的概率在减小。对于两枚硬币，得到正1反1的概率为0.5。对于4枚硬币，得到50%的正面50%的反面的概率降至0.375。对于6枚硬币为0.3125，对于10枚硬币为0.246。因此我们可以说，随着事件数的增加，最终结果实际等于预期值的概率在减小。
数学期望是我们预期平均每次下注所赢得或输掉的结果。然而，它并没有解释两次下注之间的波动。在我们抛硬币的例子中，我们知道抛一枚硬币出现正面或反面的概率为50/50。我们预期经过N次试验，大约有（1/2）*N抛掷将出现正面，（1/2）*N抛掷将出现反面。假定我们输时会输掉赢时所赢得的相同数量，我们可以说，不管N有多大，我们的数学期望均为0。
我们也知道，大约有68%的机会我们将位于期望值的±1个标准差之内。对于10次试验（N=10），这表示我们的标准差为1.58。对于100次（N=100）试验，这表示我们的标准差的大小为5。对于1000次（N=1000）试验，标准差大约为15.81。对于10000次（N=10000）试验，标准差为50。
N（试验次数）StdDev（标准差）StdDev/N（%）
101.5815.8%
10055.0%
100015.811.581%
10000500.5%
注意：随着N的增加，标准差也增加。这意味着与通常的信念相反，你赌得越久，你就离自己的期望值（以单位赢利或亏损表示）越远。不过，随着N的增加，标准差与N的百分比在减小。这意味着你赌得越久，你就越接近于你的期望值与全部行为（N）的百分比。这是“平均法则”正确的数学形式。换句话说，如果你进行长期的连续下注N，这里，T等于你的总赢利或总亏损，E等于你的期望赢利或期望亏损，则，随着N的增大，T/N趋近于E/N。另外，E和T之间的差异随着N的增大而增大。
在图1-3中，我们将观察到抛60枚硬币游戏中的随机过程。你也将在这张图中看到±1及±2个标准差的曲线。注意：不论如何弯曲，它们都会继续向外延伸。这服从我们刚刚谈及的平均法则。
图1-3随机过程：抛60枚硬币的结果，中线两侧各有1个及2个标准差
共13页: 上一页 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 11 [12] [13] 下一页
