因为我们的丢铜板游戏满简单的，我们也可以用微积分求最佳下注比例。因为我们知道，最佳系统在一次正面和反面的周期后就是显而易见的了，我们也可以用一个正面一个反面的周期，来简化問題。
一正一反的组合后，赌注变成：【外汇交易www.fxway.com.cn收集整理】
S = (1 + b*P) * (1 - b) * S0
S - 一个周期后的赌注
b - 下注比例
P - 报酬2:1
S0 - 一个周期前的赌注
(1 + b*P) - 赢时的影响
(1 - b) - 输时的影响
所以，一个周期后的影响就是：
R = S / S0
R = (1 + bP) * (1 - b)
R = 1 - b + bP - b2P
R = 1 + b(P-1) - b2P
注意，b值很小时，R随着b(P-1)的增加而增加；b值很大时，R随着b2P而减小。这就是胆小交易者、鲁莽交易者法则背后的数学意义。
我们可以画一张图显示R和b之间的关系，这张图看起来会很像我们从模拟的结果，以目测选择最大值。我们也可以观察到，最大值时斜率为零，所以我们也可以令斜率为零，即可求最大值。
Slope = dR/db = (P-1) - 2bP = 0, 于是
b = (P-1)/2P , and, for P = 2:1,
b = (2 - 1)/(2 * 2) =0 .25
所以最佳化的下注比例就是资金的25%。
最佳下注比例随着胜率而增加，趋近报酬。
这张图显示在不同的胜率和报酬下的最佳下注比例。最佳下注比例随着酬酬的增加而增加。对于很高的报酬率时，最佳下注比例等于胜率。举例来说，一个5:1报酬的公平铜板，最佳化下注比例趋近于50%。
过程中的期望值和最佳下注比例
几乎确定会毁灭的策略
全押，本质上来说是几乎确定会毁灭的策略。因为对一个公平的铜板来说，存活的机率，变成(.5)N，N表示丢铜板的次数。十次铜板之后，存活的机率大约是千贩N弧４蟛糠莸慕灰渍叩比徊幌肫撇跃筒换岵捎谜庋牟呗浴５牵夥N策略的期望值真的很诱人。在毁灭只代表资产的损失时，我们会想要找到这样的系统。
例如，一个将军管理着好多可有可无的士兵。他也许会让士兵全部上场，全面攻坚，不考虑士兵会不会死掉。用这样的战术，将军也许会失去很多士兵，但也许会有一两个士兵攻坚成功。整体上来说，任务成功的机率就大增。
相同的，一个投资组合管理者也许会把资本分散在许多账户中，然后赌上每个账户里100%的资本。他想，他也许会输掉很多账户，但有些账户的胜利势必可以使整体的期望值最大化。这就是风险分散（Diversification）的原则。当个别的报酬率非常高时适用。
风险分散
风险分散就是把资金分散到很多不同的投资工具，单一投资工具失败时，损失得以限制。这样的策略必须符合「所有部位平均起来有获利期望值」这样的 条件。比较起单一投资工具，风险分散也提供心理上的好处。短期内投资的变动，可以由不同投资工具间的成果抵消，而获得较为平滑的投资组合变动率 。
The Uncle Point
从分散的投资组合的观点，个别投资工具组合成为总合的绩效。就风险管理者或基金投资人来说，基金的表现就成了注意力的焦点。基金的表现，也会受 上述两種人的感觉、态度、还有投资者对个别股票态度上管理者的态度所影响。
基金管理中最重要的，也许也是最不受注意的观点，就是Uncle Point。它的意思是净值水平降低，引发投资者或管理者信心丧失的那个点。如果投资人或管理者失去信心而进行赎回，那基金就 宣告死亡。正因Uncle Point發生时的环境通常是很灰心气馁的，很少文献对这个现象有详尽的记载。
尤其是当基金在安全范围里的时候，除了法律文件里必要但却含糊的贴示外，没什么人会注意Uncle Point。在Uncle Point认知上的不协调可以导致其中一方的放弃，说起来也很不幸，明明另一方要的只是再次保证。
当压力真的很大的时候，投资人和管理者不会去看那个看也看不懂的法律文件，他们会看的是自己够不够胆。在净值常常降低，高表现，高变动率的创业 界尤其重要。
若双方对Uncle Point没有清楚的共识，风险管理者往往必须假设Uncle Point就在不远处，于是他们寻找降低变动率的方法。如同我们上面所看到的，低变动率系统很少能有最好的获利。然而压力和紧张局势使得对于变动率的 侦查和处罚变成必要。
测量投资组合的变动率（Sharpe, VaR, Lake Ratio and Stress Testing）
从分散投资组合的观点，个别投资工具的成败总合成为整体绩效的一部份。投资组合管理者依赖一整套测量基金表现的工具，例如Sharpe Ratio，VaR，Lake Ratio以及Stress Testing。
威廉夏普先生在1966年提出了他的「报酬－变动率比」。经过长时间，它成为我们所熟知的Sharpe Ratio。Sharpe Ratio利用对变动率调整绩效的方法，提供了比较不同绩效不同变动率投资工具间比较的标准。
S = mean(d)/standard_deviation(d) ... the Sharpe Ratio, 而
d = Rf - Rb ... the differential return, 而
Rf - 基金报酬率
Rb - 基准报酬率
夏普指标的变形不断出现。其中一種变形舍弃了基准点，将它设为零。另一个，基本上就只是夏普指数的平方，但它使用获利的变异数，而不是标准差。 在使用夏普指标上，一个重要的考虑是它并未将上方下方变动率加以区分。高杠杆高绩效的系统，必然有很大的上方变动率，在这标准下也变得不太好了 。
VaR，或称风险承担价值，是另一種衡量投资组合风险的方法。基本上它只测量最大净值下降百分比，这種情况很久才会發生一次，机率约95%。VaR的缺 点是，(1)历史的计算结果只能提供大概值 (2)还是有5%的机率超过预期。净值下降产生的信心問題多半在非预期中發生，VaR也就无法真正预测它真正 想要解决的状况了
心理面的考虑
在实际操作上，最重要的心理考虑就是坚守系统的能力。要达到这个目标，必须(1)全然了解系统的规则 (2)了解系统行为 (3)在所有参与者中，找到清楚的共识，能够坚守系统的共识。
例如，就我们刚所说的，获利和亏损不见得会平稳的交换出现，通常来说都是一串赢的，一串输的。当一组投资人－管理者团队都了解到这是正常的，在 净值降低时坚守系统的可能性就大增，赚大钱的时候也会比较谦虚谨慎。
除此之外，研讨会，心灵支持团体都有助于保持一贯的态度，让组织里上下都能照计划进行。 【外汇交易www.fxway.com.cn收集整理】
补充：
假设一个人全胜，P=1，也就是说从kelly方程来讲就是全额投注，这是一个危险的理论值；实际上，我们的操作不可能达到100％的胜率。但是p＝1有还是有一个启发的地方，在博彩领域长期而言相对于博彩公司，彩民们的长期赔率正是0.9附近，即返回率。也就是说，博彩公司拥有全局方面获得0.1佣金的优势。但对于个体，如果自己操作得当，有可能维持在高获胜概率，这个时候个人的一点想法是随着获胜概率的提高，所采用的p应该增大博彩公司所开出赔率的考虑因素，p应该是跟个人操作和赔率所蕴含p有关，前面我们已经提到，p不仅跟个人有关，也更理论上的胜率有关，两者之间需要权衡。假定P＝f(p1,p2),其中p为kelly中要采用的概率，p1为个人胜率，p2为理论胜率，P应该是这两者加权平均，并且其权重存在反比关系为妥，能够使得个人胜率的回归理论胜率一以此来降低个人操作方面的风险这个是由于我们的个人操作中会存在一些隐性假设所引发的，规避这样的风险使得不至于在风险發生时损失过大，值得我们关注；个人正在试验，不知是否还会满足kelly方程的特性，让我们共同关注和测试
例如，如果我们采用简单权重平均，对于180赔率的比赛，个人的操作得当，使得胜率达到80％，这个时候建议在kelly中要采用两者的平均值，比方说采用个人的80％和理论的50％的平均数，以此来降低风险。
