最佳化－使用微积分
因为我们的丢铜板游戏满简单的，我们也可以用微积分求最佳下注比例。因为我们知道，最佳系统在一次正面和反面的周期后就是显而易见的了，我们也可以用一个正面一个反面的周期，来简化問題。
一正一反的组合后，赌注变成：
S = (1 + b*P) * (1 - b) * S0
S – 一个周期后的赌注
b – 下注比例
P – 报酬2:1
S0 – 一个周期前的赌注
(1 + b*P) - 赢时的影响
(1 - b) – 输时的影响
所以，一个周期后的影响就是：
R = S / S0
R = (1 + bP) * (1 - b)
R = 1 - b + bP - b2P
R = 1 + b(P-1) - b2P
注意，b值很小时，R随着b(P-1)的增加而增加；b值很大时，R随着b2P而减小。这就是胆小交易者、鲁莽交易者法则背后的数学意义。
我们可以画一张图显示R和b之间的关系，这张图看起来会很像我们从模拟的结果，以目测选择最大值。我们也可以观察到，最大值时斜率为零，所以我们也可以令斜率为零，即可求最大值。
Slope = dR/db = (P-1) - 2bP = 0, 于是
b = (P-1)/2P , and, for P = 2:1,
b = (2 - 1)/(2 * 2) = .25
所以最佳化的下注比例就是资金的25%。
最佳化－使用凯利方程式（Kelly Formula）
J. L. Kelly在1965年的论文，A New Interpretation of Information Rate中，讨论使用电话线路来传送资料。论文中的一部份，Kelly Formula，也适用于交易中，求最佳下注比例。
图五：Kelly Formula
注意，W和R都是长期的平均数字，随着时间，K会小小的改变。
参考文献：Kelly 的原始论文。
