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风险管理、风险（不确定性）、效用……
- 作者： 来源： 日期：2007-02-08 点击：31
效用函数的内在机制
假定两个人使用一枚硬币进行赌博，如果在第一次出现正面，甲将付给乙1元；如果第二次出现正面，甲将付给乙2元；如果第三次出现正面，甲将付给乙4元。以后以此类推……直到出现正面结束游戏。现在如果你可以向乙购买这项权利，你将会付给甲多少钱？
如果根据《概率论》计算这个游戏的期望收益，我们会发现游戏的期望收益是无限大。但在现实生活中，没有人会以很高的价格来购买这个游戏，相反很多人会以很少的价钱，比如不到100元的价格来出售这个权利。类似的游戏在证券市场中也经常出现，著名的期权定价公式就是在这个基础上衍生出来的。在97年时，曾经有人专门利用类似的公式计算上市公司成长性和市盈率之间的关系。并很认真的指出如果上市公司的成长性达到100%，市盈率将失去作用（具体计算公式可以使用净戏N堤止酵频嫉玫剑≌馄恼路⒈碛�97年的《中國证券报》上，其时以（600839）四川长虹为首的绩优成长股正处于历史的高峰。
贝努利先生针对“圣彼得堡悖论”提出了“效用”的概念。并指出了确定一个项目的未来价值不能以其价格为基础，而应该参照它产生的效用。项目的价格可以由项目本身来决定，它不会因人而改变，但效用取决于评估人的特殊环境。效用的增加应该是自然财富增加百分比的自然对数关系。也就是说如果收益增加了50%，效用将会增加0.405个单位（ln（1+0.5））；如果再增加同等财富，效用只会增加0.288个单位（ln（1+0.33））。
在效用函数的作用下，人们会拒绝公平赌博。公平竞争的含义就是在游戏中参与双方的预期收入相等。假定两个人有100元，各自拿出50元作为赌注，通过使用抛硬币的方式决定输赢。赢家最后手里有150元，输家最后手里有50元。这个游戏的期望值为150×50%+50×50%=100，但通过效用函数，我们可以看到：不参加游戏的效用为ln（100）=4.605。参加游戏的预期效用为ln(150)×50%+ln(50)×50=4.461。而4.461相对应的确定性结果为86.60（通过公式ln(c)=ln(150)×50%+ln(50)×50计算）。这样，我们可以看到对于我们来说是“亏损”的游戏。
实际生活中，不同人对风险的偏好与效用函数并不一致。这样，通常可以分为风险厌恶、风险中性、风险喜好等类型。如我们曾谈到巴菲特先生的例子。
一次游戏中，与巴菲特在一起的高尔夫球友们决定同他打一个赌。他们认为巴菲特在三天户外运动中，一杆进洞的成绩为零。如果他输了，需要付出10美元；一但他赢了，可以获得20000美元。每个人都接受了这个建议，但巴菲特先生拒绝了。他说：“如果你不学会在小的事情上约束自己，你在大的事情上也不会受内心的约束”。
对于这个事件，我们似乎并不能因为巴菲特先生具有的财富认为20000美元对他没有效用。問題的关键是巴菲特先生具有明显风险厌恶特性。这一点是大多数人并不具备的。虽然在研究过程中认为一般人都属于风险厌恶型的。
关于人类行为的研究结果证实：绝大多数人在以下相同前提的两種表示为A和B的投机风险的选择中，都倾向于选择B而不是A。其中：
A＝［80％的几率获得1万元、20％的几率获得100万元］；
B＝［99％的几率获得10万元、1％的几率获得1000万元］。
我们很容易算出：A的期望收益为20.8、B的期望收益为19.9；A的方差为1568、B的方差为9703。这明显与投资组合理论中的基本原理相悖。如果使用期望效用可以计算出：
A的期望效用为：
ln（A）=ln（1万）×80%+ln（100万）×20%
=9.21×80%+13.82×20%=7.368+2.764=10.132；
B的期望效用为：
ln（B）=ln（10万）×99%+ln（1000万）×1%
=11.51×99%+16.12×1%=11.395+0.161=11.556；
B的期望效用明显比A的期望效用有价值。现在我们可以附加一点条件，即参与上述游戏，需要付费。很多人都会参与的。保险行业与彩票行业的机制就在这里。
如果我们可以回到人类经济活动的发展过程中可以发现：在金融市场以前，保险和赌博是人类对风险及风险管理的最好尝试。保险的起源与航海业的发展几乎同步，商人们认识到如果将单独的船组合在一起形成船队，可以有效降低可能遭受的损失。在此基础上，开始有人将有关的航运风险进行收集，形成了专门承担风险的保险公司。保险公司的基本原理是这样的：对于群体来说，不确定性的损失是不可避免的；而对于个体来说，为可能遭受的不确定性损失付出一定的费用是有价值的。
依据《概率论》中的大数定理，保险的机制是相当完美的。比如：人们在承受包括灾难等重大灾害的概率为1：50万。而在出现损失后的获赔金额为100万，每个人的投保金额为5元。对于投保的人来说，无论这概率如何分布，5元付出对100万收益金额都是合理的。同样对于保险公司，如果有2000万人投保，可以获得5×2000万=10000万元，而每年的付出大约为2000/50×100=40×100=4000万。4000万的付出相对与10000万元的收入同样是一项非常精明的生意。现实生活中的保险应该远较上面的例子复杂，但原理的一致性，保证了保险公司的收益。
与保险形成对应的应该是赌博。赌场的运作机制同样依据《概率论》中的大数定理。我们可以以彩票为例，比如：我们发行一種特殊的彩票，每张面额为5元，最高的奖金为100万元。中奖机会为50万：1。对于参与的人来说，付出5元的损失与可能得到的100万相比，无论如何都是合适的。同样对于举办方来说，5×50万=250万的收益与付出的100万相比，同样是不错的收益。基本上所有的赌博原理都是在这个基础上形成的。
频率分布与效用悖论的背后
市场中有两个因素很值得深入研究，这就是频率分布与投资人的效用。
赌博与保险都是应用《概率论》中的大数定理，但与赌博明显不同的就是保险的收益情况明显要大于赌博。出现这種情况的原因主要包括：1）在赌博过程中，概率是可以被充分确定的。如：我们设定彩票的中奖概率为1：50万，这个概率分布就不会出现变化。而在保险中，我们说的是一種相对的可能性。还是上面的事例，如果保险公司的投保人数减少到200万人，我们可以计算出：200×5=1000万，200/50×100=400万。似乎收益还是不错的。但现实世界中，如果受灾难人数达到10人的可能，10×100=1000万，保险公司将无利可图。所以我们可以看到现实生活中，保险公司计算出的收益情况会明显高于赌博。就在于现实中概率分布一方面存在方差，另一方面就在于利用历史数据计算概率分布时，存在着明显的误差可能。这就是我们所说的不确定性。需要提醒的就是：在市场中简单使用历史数据进行统计分析，就仿佛在高速公路上加速高速行驶的汽车，我们却在通过后视镜观察前方的路况！
现实的市场中很少会再出现类似于新股发行中的抽签和中签的概率机会。这个机会与我们前面说的彩票机理基本类似，投资人付出的是相对有效的风险，而收获的新股中签后的上市的差价收益。在没有向二级市场配售新股以前，这是一项很不错的市场机制。由于发行市场和交易市场中存在着差价，总会吸引一部分来承担新股发行的风险。这部分参与发行市场的资金利用《概率论》中的大数定理，利用类似保险公司的机制，同样可以获得稳定的收益。如：新股中签的概率为1：1000，新股上市后的收益为100%。如果新股的发行价为5元，基本申购单位为1000股。这样，为保证获得1000股，需要投入1000×5000=500万的资金，申购的资金没有任何风险，付出的就是冻结资金的利息。一般冻结时间为5个交易日。这样，一笔固定的申购资金在一年中可以周转50次，如果资金成本为2%/年，这样，每次付出为500万×2%/50=2000元，获得收益为5000×100%=5000元。这是很稳定的获利途径。但我们可以看到影响收益的因素主要包括：参与申购的资金总量和新股上市定位情况。该办法自96年开始以来，历年的收益因为参与申购的资金逐年增加由96年的100%到97年的50%、98年的30%、99年的20%、2000年的18%、2001年的12%左右。但如果可以精确计划，同样可以《概率论》的均值和方差的特点获得良好的收益。如：在98年中我曾经利用150万的单账号资金获得35%以上的年收益，在99年利用30万的单账号资金获得40%以上的年收益。出现这種情况的原因在于与保险机制相反的是，相对较小的资金更容易受到方差因素的影响。如果进一步计算好申购品種的中签率和新股定位，就可能获得超过平均值的收益。相反资金量大的申购资金只能获得平均的收益水平。
很多投资人可以精确的定义一些交易行为的频率分布，但同样并不能取得预想的成绩。这種见的关键就在于忽视了投资人效用函数的异常反应。
这是一个引自马科韦兹《投资组合理论》的事例。我们可以看到：投资人需要选择如下三種彩票的一種：1）彩票A赢得1000元的几率为1/1000；2）彩票B赢得100元的几率为1/100；3）彩票C赢得1000元的几率为1/2000、赢得100元的几率为1/200。实验结果表明大多数人都倾向选择彩票C。但通过计算，我们可以发现：UC=1/2×UA+1/2×UB。这样无论如何，UC不会是三者中的最大者。上述問題中，三者的期望收益结果是完全一致的。但为什么会明显出现这个悖论呢？
我们再看一下典型的“期望理论”试验。对于提问1和提问2的回答可以找到答案。
（提问1）A：确定可以获得80元；
B：以85%的概率可以获得100元，而以15%的概率什么也得不到。
（提问2）C：确定要损失80元；
D：以85%的概率将会损失100元，而以15%的概率将会丝毫没有损失。
根据试验，大多数人的本能反应是A和D。如果按照期望效用的观点，A与C是一致的，如果选择A，同样也会选择C、而不是D。A的期望值要小于B。可人们往往会选择可靠的收益机会；同样，C的期望值要高于D的期望值。人们在这时更倾向于接受较大的亏损。
上述这些现象属于心理经济学和行为经济学研究的重点内容。在这中间，我们可以看到人类既不像学术分析理论中假定的那样符合概率分布的“风险中性”原则，也不向期望效用理论要求的那样，严格按照期望效用做出选择。而是在获利的领域里，人们会天生选择利益较少的稳定获利机会；在形成亏损的同时，人们的选择标准会变成倾向于赌博的心理。在这个角度来说：人类是天生认赔的！
同样，我们可以注意到与此有关的众多选择中存在着不均衡的现象。心理学家归纳为：
（1）收益期望值（u）与风险承受能力（f）的均衡：
3×Ln（u）/Ln（f）=K
（2）被动型风险（BF）与主动性风险（ZF）的评价：
BF/ZF×1000=K
公式一的含义是：收益期望值增加时，所能承受的风险不是相应成比例的增加。而是对风险的判断一下子变得宽容了，市场中出现的多次泡沫经济都是在这種背景下形成的；公式二的含义是：即使相同的风险，当其与自身的主动性有关时，或有自身的行为所致时，在感觉上会有1000倍的差别。市场中的风险多数与主动性有关。
通过以上的这些简单事例分析，投资人在形成自身的操作体系时必须要面对一系列常规理论中并没有很清晰展开的环节。
以上是我个人关于风险管理、不确定性、效用的一些理解与思考，未来还会慢慢贴出来有关的内容。希望得到大家的指点。
