四：数学对混沌的定义
1975年，华裔数学家李天岩和他的导师在《美國数学月刊》中发表了一篇论文，题目是《PeriodThreeImpliesChaos》-------《周期3意味着混沌》，用数学的方法解释了“混沌（Chaos）”，并且第一次使用了Chaos这个词。
李天岩在论文《PeriodThreeImpliesChaos》中，不仅再次证明了沙可夫斯基定理中“有周期3，就有任意自然数周期”的特例（在此之前，李天岩或许并不知道沙可夫斯基定理，因为沙可夫斯基本人并没有什么名气，也许可以这么说，沙可夫斯基反而是因为李天岩才名扬四海的），而且明确地刻画了“混沌（Chaos）”的数学含义：
设函数F（X）是[0，1]区间到[0，1]区间的连续迭代函数。如果F（X）有如下性质，就说它有混沌现象：
（1）F（X）的周期无上限；
（2）在区间[0，1]中有一个不可数的子集S，使得：
①对于S中任意不同的两点X0和Y0，考虑迭代序列Xn=F（Xn-1）和 Yn=F（Yn-1），n=1，2，3………，当n趋于无穷大的时候，它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0，下极限等于0；
②对于X0是S中的一个任意点而Y0是迭代的任意一个周期点，考虑迭代序列Xn=F（Xn）和Yn=F（Yn），n=1，2，3………，当n趋于无穷大时，它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0。
对于非数学专业的交易者来说，恐怕会被混沌的数学定义搞得晕头转向，说实话，我也是稀里糊涂的。向前数大约1200字，是我请了9个搞数学的朋友，喝了7次茶才写出来的，不过，这7茶可没有白喝，我虽然没有明白数学对混沌定义的深刻含义，但是我明白了一个非常简单的道理，那就是：
周期3导致了混沌。
如果你想使用一種工具，或者建立一个系统，那么，首先就是要了解这種工具或系统的原理和特性，这是必须的一步。这一步没有坚实的基础，以后所有的都是空中楼阁。
我们在《混沌的启示》一文中，初步介绍了证券市场的结构------分形------一个由五支K线组成的形态，表示市场趋势受到了压力或支持。一个分形实际上，在形成以后，最重要的是3支K线，即后面的3支K线。以向上分形为例，在趋势向上的过程的高点以后，如果仅出现一支K线没有新高，并不能说明什么，市场可能是停顿，也可能是继续前进，但是一旦连续两个周期没有出现新高点，和有高点的那一周期，就形成了一个3周期的结构。这个3周期所形成的结构，就可以理解为周期3-------一个导致混沌的数字。
当然，周期3未必就一定导致混沌，因此，我们也把分形分成各種不同类型，比如坚定的分形、犹豫的分形和等待的分形。
另外一个非常重要的观点是：没有分形同样是一種结构------趋势运动有秩序的结构------这个结构简单流畅，是导致我们获利结构，是我们喜欢的结构。
事实证明，无论在中國市场，还是外國市场，分形，或者说周期3，都一種有效的结构、一个有与其他数字有本质区别的数字，至少表现在：
1、周期3导致混沌；
2、周期3是第一个可能导致混沌的周期；
3、有周期3，就有任意周期；
4、分形涵盖了所有的市场趋势反转；
5、在没有出现分形的时候，市场趋势不可能反转，只可能延续；
6、两个逆向分形所形成的杠杆，和分形的周期3有“自我相似”，以最简洁的方式体现出价格趋势的自组织系统及其运动方式；
7、周期3最具有实战价值。
这些将在《混沌理论在中國证券市场的应用》、《杠杆操作法初级：告别亏
损》中做详细的介绍。
按照拉瑞-威廉的“环形”概念，同样可以得出周期3的结论，但是我认为，环形的变化过于复杂，而且没有分形稳定：在大多数时候，会导致交易者过量交易（OverTrade）。
目前國内证券市场的波动相对安稳，并不剧烈，而且交易费用也不理想，频繁交易不是一種好的选择。
五：菲根鲍姆普适常数
在混沌理论中，菲根鲍姆常数也是一个重要内容。
美國康奈尔大学的物理学家菲根鲍姆（Feigenbaum），发现了被誉为“本世纪最伟大”的发现--------在周期倍增分叉现象中更深层次的规律-----从而揭示出系统从有秩序转向混沌的秘密。
菲根鲍姆发现：在周期倍增分叉过程中，随着分叉次数M的增加，相邻的两个分叉点λm和λm+1的间距Δm=λm+1-λm组成一个渐进的等比数列，分叉宽度ξm也组成一个渐进的等比数列，并且这两个等比数列都有极限。菲根鲍姆测出了这两个等比数列的公比，它们的倒数分别叫做菲根鲍姆常数δ和菲根鲍姆常数α，它们分别是：δ=4.669201……..，α=2.50290…………。
据菲根鲍姆自己说，周期倍增分叉现象和规律的发现，大大地改变了人类对宇宙的认识。
一个系统是否稳定，对我们是一个非常非常重要的問題。
简单的说，如果现在的情况差别不大，随着系统的運行，将来的差别也不大，那么就说系统是稳定的，否则就是不稳定的。但是，稳定和不稳定之间，并没有不可逾越的鸿沟。
菲根鲍姆告诉我们，通向混沌之路，并非是混沌的，而且，这些路是可能探索的。
前面我们说过，在证券市场中，每一个趋势都是一个自组织系统，理解成复杂的数学迭代也未尝不可。作为理论研究者，也许会去试图寻找其中的“菲根鲍姆常数”，但是作为交易者，则需要的是对理论的深刻理解，然后用来指导实践，并以此获利。
混沌理论中的数学，内容要远比我写的多得多。这里做的基础介绍，对于数学专业的交易者来说太浅，对于非数学专业的交易者，可能又太深，不过我能说的，也只有这么多了。
在证券市场，对于交易者来说，我觉得重要的不是知识本身，而是对知识的思考、理解和应用。
市场上有许多“高手”，狭隘地执着于技术分析或基础分析，更有甚者，执着于狂妄的幻想，可以在某些时刻，甚至是某些时间，在市场中获利。可是，这并非是长久之计。
唐能通（幻想形）就是个很好的例子。当市场处于强大的牛市的时候，无论怎么买都是对的：涨可以追涨，跌可以摊低成本。于是当熊市来临的时候，他失踪了。
作为中國股民，在一个仅仅十年的市场中，我们经历了太多的沧桑（或许美國人也同样如此）：我们还需要学习很多，我们还需要理解很多，我们还需要辨别很多。
愿真理与我们同在。
全文完
